برای آغاز بحث جذر عدد 2231 را با تقریب كم تر از "یك" بدست می آوریم.
الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می كنیم.
به این ترتیب عدد 2231 در دو جزء دیده می شود و همین جا می توانیم تشخیص دهیم كه جواب جذر 2231 دو رقمی است.
بنابراین وقتی جذر تقریبی 22 را 4 در نظر می گیریم در واقع جذر تقریبی 2200 را با تقریب كم تر از 10 و به روش قطع كردن 40 حدس زده ایم.

بنابراین :
ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب می كنیم"8" و بزرگترین عددی كه می تواند قرار بگیرد تا حاصل       × 8 بیش تر از 631 نباشد را پیدا می كردیم.
بنابراین معادل همین كار را در سمت چپ انجام دهیم.
یعنی در واقع ما عدد 40 را دو برابر می كنیم و بزرگترین عددی كه می تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل     ×( +80 ) بیش تر از 631 نباشد را پیدا می كنیم

و سرانجام با صرف نظر از رقم یكان عدد 631 و تقسیم آن بر 8 عدد داخل  را حدس می زدیم. لذا: درواقع جزء صحیح تقسیم 631 بر 80 را به عنوان رقم یكان پاسخ جذرمان پیشنهاد می كنیم.

در نتیجه داریم:
بنابراین پاسخ جذر با تقریب كم تر از :یك" 47=7+40 می باشد.
اما بیایید دقت كنیم با عدد مورد نظرمان "2231" چه كردیم؟
اولا: 1600 یا 40²را از 2231 كم كردیم .
ثانیا: 7×(7+80) یا 7×(7+40×2) را نیز از 2231 كم كردیم
به عبارتی دیگر ما در مجموع 7×(7+40×2)+40² یا 
7²+2(7×40)+40²  
را از 2231 كم كرده ایم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقی ماند
از طرفی 7²+2(7×40)+40²بسط (7+40)²می باشد

به عبارت دیگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ایa+b)²=a²+2ab+b²  )به صورت a²+(2a+b)b مورد استفاده قرار می گیرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در ریاضی سوم راهنمایی برای محاسبه یك جذر جلوه ای خیره كننده از انسجام و اختصار مربع های دو جمله ای نهفته است.
برای مثال وقتی جواب یك جذر 141 می باشد،در فرایند جذر مربع 141 اینگونه از عددی كه جذز گرفته می شود كم می شود:

[1+(40+100)]²=141²

1²+2(140) 1+(40+100)²=

1²+1(140)2+40²+2(100)40+100²=

1(1+280)+40(40+200)+100²=

درنتیجه: 1(1+280)+40(40+200)+100²=141²

یعنی: در محاسبه جذر عددی كه پاسخ جذر آن 141 می باشد ابتدا، حاصل 100² سپش حاصل 40(40+200) و بعد حاصل 1(1+280) از آن كم می شود و باقیمانده به جا می ماند

حال می خواهیم با استفاده از رابطه (a+b)²=a²+(2a+b)b  ریشه دوم عدد 20000 را با تقریب كم تر از یك بدست آوریم

وقتی از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می كنیم عدد 20000 در سه جزء دیده می شود پس حاصل جذر سه رقمی است و اولین عدد جواب در ارزش مكانی صدگان می نشیند.

100 را دو برابر می كنیم 200=(100)2=2a
و سعی می كنیم مقدار b را در( 2a+b)b حدس بزنیم.

البته: به این نكته دقت می كنیم كه عدد درون با ارزش مكانی دهگان ظاهر خواهد شد.

بنابراین: تا اینجا جواب 140 را بدست آورده ایم و باز همین طور ادامه می دهیم
280=2(140)=2a
و بار دیگر می خواهیم مقدار b را در( 2a+b)b پیدا كنیم.

عددی بعدی با ارزش یكان ظاهر خواهد شد .

بنابرای [جواب آن 141و باقیمانده 119 است.